Международная Научная школа
устойчивого развития им. П.Г. Кузнецова

Крон Габриель (1901-1968)

Для представления n-матриц используются два типа обозначений.

«Прямое обозначение», в котором каждая n-матрица независимо от ее размерности представляется одним символом, называемым базовой буквой.

«Индексное обозначение», в котором каждая n-матрица также обозначается одним символом А – базовой буквой, но к ней, кроме того, приписываются еще индексы, представляющие направления, по которым расположены компоненты матрицы. В частности, 1-матрица имеет один индекс — А?; 2-матрица имеет два индекса — А??; 3-матрица — три индекса — А???; 0-матрица не имеет индексов —А.

Базовая буква А, представляющая n-матрицу, в общем случае имеет число индексов, соответствующее числу направлений, по которым расположены ее компоненты.

Рис. 1. Расположение индексов

При представлении n-матрицы с помощью нескольких индексов, скажем А???, в общем случае (рис. 1) первый индекс обозначает строки; второй индекс — столбцы; третий индекс — слои, параллельные плоскости листа.

Однако, поскольку индексы прочно связаны со стрелками, то порядок представления при наличии стрелки не имеет особого значения. Она показывает, относится ли первый индекс к строке или столбцу.

I. Каждый элемент на рис. 2 имеет определенное обозначение (a, b, c, d), чтобы с ним можно было работать отдельно. Аналогично каждая строка, столбец и слой n-матрицы, как показано, имеют присвоенные им отличительные наименования. Эти индивидуальные наименования называются «фиксированными» индексами и пишутся рядом со строкой, столбцом или слоем.

Чтобы обращаться ко всем элементам вместе, в дополнение к «фиксированным» индексам a, b, c, d, ... в индексные обозначения вводится другой набор индексов, который представляет все фиксированные индексы. Такие коллективные индексы называются «скользящими» (или «текущими») и обозначаются греческими буквами (?, ?, ?, …). Таким образом, скользящий индекс обозначает все фиксированные значения a, b, c, d, …; этим же свойством обладают ? и ?. Например, А? представляет все компоненты 1-матрицы А, тогда как Аb — один компонент, а именно второй в строке.

Как показано на рис. 1, для 2-матрицы в верхнем левом углу, рядом с наклонной чертой, в соответствующем месте помещаются два скользящих индекса. Для 3-матрицы вдоль ребер куба изображаются три стрелки, а затем рядом с каждой стрелкой помещается скользящий индекс.

II. Если все индексы скользящие, например для А??, то они представляют сразу все компоненты n-матрицы. Если же один или более индексов фиксированные, как в Аc? или Аad?, то это означает, что из n-матрицы выделены отдельные строка, столбец или слой (рис. 16).

Например, А?d? представляет 2-матрицу, вырезанную из 3-матрицы. Наличие трех индексов свидетельствует о том, что исходная матрица А — это 3-матрица. Два переменных индекса ? и ?показывают, что вырезана 2-матрица и что она перпендикулярна плоскости листа (скользящие индексы — 1-й и 3-й).

Постоянный индекс d показывает, что 2-матрица — последняя из четырех 2-матриц.

Рис. 2. Представление различных частей n-матрицы

Отдельные компоненты представляются присвоенными им фиксированными индексами, например Аb = 5 или Аbd = 7, при этом показано, что число 7 принадлежит строке b и столбцу d.

Если используется прямое обозначение, то скользящие индексы не указываются. Однако фиксированные индексы a, b, c, d еще сохраняются и выделяются жирным шрифтом (a, b, c, d) рядом с компонентами. Следовательно, 1-матрицу и 2-матрицу запишем соответственно так:

Причем постоянные индексы выделены жирным шрифтом, а скользящие опущены. Частичные (неполные n-матрицы) (рис. 2) можно изображать в прямом обозначении только с помощью обозначений, специально вводимых для каждого конкретного случая.

Таким образом, различие между скользящим и индексным обозначением состоит в том, что скользящие индексы опускаются при использовании прямых обозначений. Для отличия их от обычных величин вместо скользящих индексов используется выделение жирным шрифтом.

 

[назад]